Das Ziegenproblem

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Das Ziegenproblem Informationen zum Ziegenproblem

Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:. Ziegenproblem: Was ist das eigentlich? Was ist The Work? Wechseln erwies Das Ziegenproblem als besser. Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern. In ihrem später veröffentlichten Buch [9] schreibt sie, dass sie auch Briefe von Lesern Jackpot Games On Sportpesa habe, die Mobile Security Apps For Windows Phone diese Unklarheit hingewiesen hatten. Die gestellte Aufgabe geht auf den Biostatistiker Steve Selvin zurück, der sie im American Statistician in einem Leserbrief vorstellte. Der Kandidat wählt Tür 2.

Die richtige Antwort lautet: Es ist besser, die Tür zu wechseln. Doch Marilyn vos Savant gelang es nicht, ihre Leser davon zu überzeugen.

Selbst zwei Drittel der Briefschreiber aus Universitäten waren gegen sie. Selbst Paul Erdös, genialer Mathematiker des Jahrhunderts und noch dazu Statistiker, beharrte lange auf der falschen Lösung.

Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl. In den Publikationen zum Ziegenproblem Monty-Hall-Problem werden, manchmal sogar innerhalb einer Publikation, unterschiedliche Fragestellungen und Modelle untersucht.

Dabei wird die Korrektheit von vos Savants Lösung, die die heftigen Kontroversen ausgelöst hatte, ausdrücklich herausgestellt.

Darunter befindet sich die Annahme, dass der Moderator verpflichtet ist, nach der ersten Wahl eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen, sowie die Annahme, dass der Moderator ehrlich ist.

Auch Henze [22] lässt in seiner Aufgabenformulierung den Moderator, bevor er die Ziegentür öffnet, sagen Soll ich Ihnen mal was zeigen?

In einer Vorlesung im Sommersemester [23] schreibt er diesen Zusatz zu Beginn in die Aufgabenstellung und stellt ausführlich heraus, dass vos Savant recht hatte.

Lucas [19] verwendet eine Problemformulierung, die dem Moderator von vornherein gewisse Verhaltensregeln vorschreibt. Bei der Beurteilung der heftigen Reaktionen auf vos Savants Lösung spielt es für Lucas [19] jedoch keine Rolle, dass diese Verhaltensregeln in dem von vos Savant vorgelegten Problem nicht formuliert worden waren.

Morgan et al. Den einzigen Fehler in vos Savants Lösung sehen Morgan et al. Erst nach ihren Ausführungen zu Aufgabe und Lösung erwähnen Morgan et al.

Der Spielleiter fragt die Kandidatin, ob sie bei ihrer ursprünglichen Wahl der Türe bleiben möchte oder auf die andere, noch geschlossene Türe wechseln möchte.

Dabei geht er von Gero von Randows [16] Problemformulierung aus. Entsprechend der Bemerkung von Morgan et al. Der Moderator kann also auch die vom Spieler gewählte Ziegentüre öffnen.

Nach diesen Ausführungen zieht er folgenden Schluss: Ähnlich wie beim Bertrand-Paradoxon beruhen die verschiedenen Antworten auf einer unterschiedlichen Interpretation einer unscharf gestellten Aufgabe.

Die meisten Lehrbuchautoren verzichten allerdings auf die Berücksichtigung einer solchen subjektiven Einschätzung des Moderatorverhaltens.

Untersuchungen, bei denen der Kandidat den Moderator auch dahingehend einschätzt, seine Torauswahl nicht gleichwahrscheinlich vorzunehmen, wurden erstmals von Morgan et al.

Dabei haben Morgan et al. Die Anwendung des Verfahrens von Morgan et al. In ihrer Erwiderung [31] auf Morgan et al.

Wie soll sich die Kandidatin hic et nunc verhalten, nachdem der Spielleiter eine Tür geöffnet hat? Gute Schätzwerte für den unbekannten Parameter p erhalte man durch Beobachten des Verhaltens des Spielleiters in der passenden Situation, wenn das Auto hinter Tür 1 steht und die Kandidatin ebendiese Tür zunächst erwählt hat.

Bayessche Untersuchungen wurden erstmals von Morgan et al. Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene Lösung empirisch geprüft werden, so ist dabei zu berücksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis bezieht.

Konkrete Ursache dafür ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu öffnen.

Allerdings können durch einen asymmetrischen Spielverlauf Entscheidungssituationen entstehen, bei denen ein Torwechsel gegenüber dem Durchschnitt aussichtsreicher beziehungsweise weniger aussichtsreich ist.

Solche Effekte sind im Hinblick auf eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auslosung des Gewinntors offensichtlich, [32] aber sie können, wie die Ergebnisse für den faulen Moderator zeigen, auch durch ein asymmetrisches Moderatorverhalten verursacht werden.

Der Umstand, dass beide Ansätze die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit liefern, folgt aus einer Symmetriebetrachtung, die den A-posteriori -Wert aus dem A-priori-Wert herleitet.

Mit unterschiedlichen Annahmen über die Wahrscheinlichkeit, mit der der Moderator eine bestimmte Ziegentür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, lassen sich für den jeweiligen Einzelfall auch unterschiedliche Gewinnwahrscheinlichkeiten errechnen.

Dieser Aspekt wurde von einigen Autoren als Ausgangspunkt spieltheoretischer Untersuchungen des Ziegenproblems genommen. Dabei wird die Zusatzannahme über diese Wahrscheinlichkeit als gemischte Strategie im Sinne eines Zwei-Personen- Spiels aufgefasst, [20] [33] das sogar Nullsummencharakter besitzt.

Einbezogen in den sequentiellen Spielablauf wird auch das Verstecken des Autos, das als erster Zug des Moderators gewertet wird.

Die Aussage ist insofern bemerkenswert, da sie ohne A-priori-Annahme über das Verhalten des Moderators auskommt und trotzdem Aussagen für jede einzelne im Spiel auftauchende Entscheidungssituation macht.

Ein noch stärkeres Argument für den Kandidaten, nie das anfangs gewählte Tor beizubehalten, ergibt sich aus Gnedins Dominanz -Analysen für Strategien.

Teilweise dienen die Modelle auch nur dem Zweck eines erläuternden Vergleichs:. Lucus, Rosenhouse, Madison und Schepler [19] sowie Morgan et al.

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet.

Dabei wurden die beiden Behauptungen, dass 1 Personen dazu neigen, bei ihrer ersten Wahl zu bleiben und 2 dass das Ändern der ursprünglichen Entscheidung die Gewinnchance signifikant erhöht, bestätigt.

Im Rahmen ihrer Mitarbeit bei Wikipedia fanden W. Die Bestätigung dieses Sachverhalts nutzten Morgan et al. Whitakers Leserbrief an Marilyn vos Savant zu veröffentlichen.

Dieser Artikel behandelt das Ziegenproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zum Problem der angebundenen Ziege siehe Ziegenproblem Geometrie.

Erst einige Jahre später wurde der Blickwinkel auf die Aufgabe geändert und eine einfach verständliche Lösung veröffentlicht.

Wichtig für die Entscheidung des Wechsels ist nämlich nicht nur die Perspektive des Kandidaten, sondern auch die des Moderators. Verwandte Themen.

Ziegenproblem: Die Lösung einfach erklärt Ziegenproblem: Was ist das eigentlich? Das Ziegenproblem ist auch als "Monty Hall Problem" bekannt.

Monty Hall moderierte bereits in den 60er Jahren die Show "Let's make a deal". In der Show hat der Kandidat die Möglichkeit zwischen drei Toren zu wählen.

Der Kandidat wählt in diesem Glücksspiel ein Tor aus. Das Verhalten des Moderators ist Teil der Show und geschieht ebenfalls, wenn sich der unwissende Spieler bereits auf eine Niete festgelegt hat.

Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten zum letzten Mal, ob er das Tor nicht wechseln möchte.

Die kontrovers diskutierte Frage lautet: Sollte man das Tor wechseln, oder nicht?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der anderen Tür? Die meisten Lehrbuchautoren verzichten allerdings auf die Berücksichtigung einer solchen subjektiven Einschätzung des Spiele Vogel. Alles hängt von seiner Laune ab. Das Auto steht hinter jeder Tür mit Das Ziegenproblem Wahrscheinlichkeit Pokerstars Mit Spielgeld Echtgeld Gewinnen. Verwandte Themen. Hinter einem ist ein Auto, hinter den beiden anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Es sind vor allem die folgenden Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Antwort führen. Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene Lösung empirisch geprüft werden, so ist dabei zu berücksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis bezieht. Der zweite Kunstgriff besteht darin, nicht über abstrakte Wahrscheinlichkeiten zu räsonieren, sondern konkrete Fälle durchzuspielen. Gründer trotzen der Bürokratie. Das Ziegenproblem Der Moderator kann also auch die vom Spieler gewählte Ziegentüre öffnen. Ziegenproblem: Was ist Gems Spiele eigentlich? Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene Lösung empirisch geprüft werden, so ist Das Ziegenproblem zu berücksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis Regeln Elfmeter. Die Aussage ist insofern Mary Kay Meinungen, da sie ohne A-priori-Annahme über das Verhalten des Moderators auskommt und trotzdem Free Casino Euro für jede einzelne im Spiel auftauchende Entscheidungssituation macht. Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat. Im ersten Moment scheint es komplett egal zu sein, welches Tor man nimmt. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Wir wissen, dass hinter einem Tor die zweite Ziege und hinter dem anderen Tor ein Auto steht. Ich gab an diesem Online Pokerschule Gibraltar auf, weil ich keine Erklärung auf der Basis des gesunden Menschenverstands habe. Dabei geht die Suche nach der Weltformel weiter. Morgan et al. Weil die Sunmaker Online Spielen Leserbrief von Whitaker formulierte Aufgabe einigen Wissenschaftlern nicht eindeutig lösbar erschien, wurde von ihnen eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen. Im Rahmen ihrer Mitarbeit bei Wikipedia fanden Reiterspiele Online. Was ist The Work? Wechseln erwies sich als besser. Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl.

Warum wird das Ziegenproblem so sehr diskutiert? Erstmalig brach die Diskussion über das Ziegenproblem aus. Die Lösung für das Problem, ob sich der Wechsel der Tore wirklich lohnt, war für die meisten Menschen jedoch nicht verständlich.

Im ersten Moment scheint es komplett egal zu sein, welches Tor man nimmt. Wir wissen, dass hinter einem Tor die zweite Ziege und hinter dem anderen Tor ein Auto steht.

Egal, welches Tor man wählt, die Wahrscheinlichkeit liegt stets bei So logisch das im ersten Moment auch klingt, korrekt ist es nicht. Einfach erklärt: Die Lösung für das Ziegenproblem Das Ziegenproblem wurde nur so populär, weil kaum einer die komplexen und unverständlichen Erklärungsversuche verstand.

Die folgenden drei Szenarien können mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:. Fall 1: Das Auto steht hinter Tor 1. Fall 2: Das Auto steht hinter Tor 2.

Der Moderator muss in diesem Fall Tor 3 öffnen, da er nicht die Wahl des Kandidaten und auch nicht das Auto enthüllen darf.

Hinter einer der Türen wartet der Hauptgewinn, ein prachtvolles Auto, hinter den anderen beiden steht jeweils eine meckernde Ziege.

Frohgemut zeigen Sie auf eine der Türen, sagen wir Nummer eins. Etwa 99 Prozent der mit dieser Aufgabe Konfrontierten sind der Meinung, dass das Auto ebenso gut hinter der einen wie der anderen Tür stehen kann, und fast 90 Prozent entscheiden sich angesichts dieser vermeintlichen Sachlage dafür, bei der ursprünglichen Tür zu bleiben.

Egal, ob Sie Ihre Entscheidung revidieren oder nicht, die Aussichten bleiben die gleichen. Die richtige Antwort lautet: Es ist besser, die Tür zu wechseln.

Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden.

Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern? Insbesondere hat der Moderator die Möglichkeit, frei darüber zu entscheiden, welches Tor er öffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat Sie haben also zuerst das Auto-Tor gewählt.

Aufgeteilt in Einzelschritte, ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann, bekannt sind: [9].

Mit einer solchen Zusatzannahme entsteht jeweils ein anderes Problem, das zu unterschiedlichen Gewinnchancen bei der Torauswahl des Kandidaten führen kann.

Dazu wird immer vorausgesetzt, dass der Kandidat die dem Moderator unterstellte Entscheidungsprozedur kennt. Wie soll sich der Kandidat im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines anderen Tors mit einer Ziege dahinter nicht beeinflusst.

Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 oder 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung.

Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist Laplace-Experiment.

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet das ist die Bedingung.

Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei dieser drei Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Unter den Voraussetzungen, dass der Kandidat zunächst Tor 1 gewählt hat und der Moderator Tor 3 mit einer Ziege dahinter öffnet, befindet sich das Auto also in zwei Drittel der Fälle hinter Tor 2.

Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern. Genauso kann aus der Tabelle abgelesen werden, dass dann, wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln auf Tor 3 ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln.

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw.

Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung beim ausgeglichenen Moderator modellieren zu können.

Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt.

Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass, wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Es liegt die folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:.

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:.

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls.

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann demnach in diesem Fall also ebenso gut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln.

Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:. Nachdem Monty Hall die Aufgabenstellung genau gelesen hatte, spielte er mit einem Versuchskandidaten das Spiel so, dass dieser bei einem Wechsel stets verlor, indem er den Wechsel immer nur dann anbot, wenn der Kandidat im ersten Schritt das Gewinn-Tor gewählt hatte.

Diese Unklarheit könne beseitigt werden, indem der Moderator vorher verspreche, eine andere Tür zu öffnen und danach einen Wechsel anzubieten. Vos Savant bestätigte diese Unklarheit in ihrer ursprünglichen Problemstellung und dass dieser Einwand, wenn er von ihren Kritikern gebracht worden wäre, gezeigt hätte, dass sie das Problem wirklich verstanden haben; aber sie hätten nie ihre erste falsche Auffassung aufgegeben.

In ihrem später veröffentlichten Buch [9] schreibt sie, dass sie auch Briefe von Lesern erhalten habe, die auf diese Unklarheit hingewiesen hatten.

Diese Briefe seien aber nicht veröffentlicht worden. Alles hängt von seiner Laune ab. Da besteht kein Unterschied.

Er wollte eine einfache Lösung ohne Entscheidungsbäume. Ich gab an diesem Punkt auf, weil ich keine Erklärung auf der Basis des gesunden Menschenverstands habe.

Das gehört zu den Spielregeln und muss in die Betrachtungen einbezogen werden. Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl.

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